ずっと気になってましたが、今、やっと調べてみました。
と言う訳で「今」ですねー
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解説:
「バドミントン」が正式名称:
スポーツとしての「バドミントン」は、英語の"badminton"をカタカナ表記したものです。

「バトミントン」は誤表記:
「バトミントン」という表記は、誤った発音や表記によるものです。

玩具としての「バトミントン」:
一方で、バドミントンを模した玩具の名前として「バトミントン」という商品名が存在する場合もあります。