クォータニオンの回転補間
＜四次元能版エヴァンゲリオン：イデア進化論＝ＳＦ能＞

変換は圏法（圏の舞い）
http://www.c-player.com/ad00178/thread/1100111950291
の続きです。

私達の世界がクォータニオンの多様体（球体）だとしましょう。多様体というと難しいので球体とします。クォータニオン球体、Ｑ体といってみます。

地球儀を想像すればよいでしょう。地球儀は３次元の球ですが、これは３次元空間を虚数化したクォータニオンの集合体です。複素平面（ガウス平面）が複素数の集まりだったように、Ｑ体はクォータニオンが一杯詰まっています。

地球と幻想的で青い背景
http://jp.123rf.com/photo_5558433_fantastic-blue-background-with-earth.html


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Ｑ体は実在しない空間ですので、幻想的な地球儀を展示しましたが、補間を考えるときは３次元空間の二点間の移動をどうするのかということでも問題はありません。例えば、東京からニューヨークへ飛行機で行くとして、どういう経路で行くのかという方法の問題です。ただし、移動手段は物理的な飛行機ではなく数学的手段になります。

クォータニオンの２点をＡとＢとすると、

四元数・４元数・クォータニオン・ Quaternionで回転
http://www015.upp.so-net.ne.jp/notgeld/quaternion.html
から、

A(t,x,y,z)とB(t’,x’,y’,z’)は
a=t+xi+yj+zk
b=t’+x’i+y’j+z’k

となります。この説明に「この表現はあまり使いません」という注釈がありましたが、四次元時空との兼ね合いからこっちでいきます。

この二つのクォータニオンの間にはどのような関係が成り立つのでしょうか？

クォータニオンは回転の補間と合成で真価を発揮すると言います。まず補間を考えてみましょう。

実際は3Dソフトを使うので具体的な中身は分からなくてもよいのですが、どんなことができるのかを味わうことにしましょう。私達は計算の方法を知ることが目的ではなく、脳の思考過程を探求することですから、そのヒントが得られたならそこで探求の方向が変わるのですね。

そうした「探求の方向が変わる」こととクォータニオンがどう関わっているのかを探求することなのです。言ってみれば、「思考を思考する」、「探求を探求する」と言ったところでしょうか。

クォータニオンの回転補間はクォータニオン球体（Ｑ体）の原点からのある点AからBへの回転を補間する、つまり、変換することです。

圏法で表現すると、
補間：A→B
ですね。


AからBへ向かうのですが、そのとき私達の脳の中ではどんなことが起きているのでしょうか？

AからBへ向かうには経路を決めなければなりません。もっともよいのは最短距離ですね。センターフライが上がったとします。野手はボールの落下点に最短で行きます。下手な野手は大回りをしたりして、追いつけなかったりします。

野手はそのボールをキャッチするまでの一瞬一瞬を現在進行形で動きます。つまり、一歩一歩を歩むのです。それが落下点Bへの経路（空間）となるのです。しかし、頭にあるのは経路（空間）と落下点Bです。スタート地点のAはもう忘れています。従って、実在するものは何もないのです。

これを三角錐で表現すると
i: indexはA地点
j: symbol はB地点
k:initialは補間
ということになるでしょう。

A地点はindex、つまり、現在地の代理表象なのです。現在地そのものではありませんから虚数iなのです。B地点はsymbol、つまり、未来の地点の代理表象なのです。もちろん、未来の地点そのものではありませんから虚数jなのです。そして、現在と未来を繋ぐ媒介項としてのinitial、それがが補間なのです。

何故、initialが媒介項＝補間なのかということにいては説明が必要でしょう。

Initialというのは視線であり、三角錐を構成する起点であり、主体の現われと共に出現するものです。野手が主体であり、A地点にいるときには視線がボールの方向に向いているのです。同時に落下点Bが予想されるのです。

主体と視線とAとBは観念的に同時に生成されるということです。ということは、三角錐は観念的同時の認識媒体だということです。三角錐をクォータニオン球体と言いましたので、クォータニオン球体（Q体）は観念的同時の認識媒体ということになります。

Q体には実軸が表現されていませんが、これは現在進行形の図だからです。つまり、野手がボールをキャッチする、つまり、落下地点Bにいかない限り、行為が完了しないのです。

それは一人称の内部観測状態にあり、動いている、つまり、虚数化されたベクトル状態にあるということです。ですから、Q体には空間のx,y,zが表れているのです。スカラーとしての時間tは隠れているのです。

ではどこに隠れているのでしょうか？

隠れている時間が現れるところに時間の本質があるとも言えます。

スタート地点のAが現在地点ですから、「今ここ」です。つまり、そこに時間が隠れているとも言えるでしょう。これは唯識の時空概念「今ここ」であり、虚数のスカラー時間と言えるでしょう。しかし、Q体のA地点のクォータニオンはa=t+xi+yj+zkですからベクトル（虚数）とスカラー（実数）を持っていると言えるでしょう。

従って、A地点に虚数の時間が隠れているとも言えるのでしょう。それが実数のスカラーとして現れるのは行為が完了したB地点に到達し、ボールをキャッチしたときです。このときは三角錐が一旦、解体して三人称となって時間が実数として出てくるでしょう。


この三角錐はＱ体＝クォータニオン球面体＝野手を表現していると言いましが、それは野手がクォータニオンという点の集りだということを意味しています。ですから、野手がスタート地点Aにいるときのクォータニオンはa=t+xi+yj+zkなのです。

実際に、動き出すとどうなるのでしょうか？

当然、野手のいる地点がどんどん変わっていきます。任意の地点qにいるときのクォータニオンはq=t+xi+yj+zkです。この地点が野手にとっての新しい現在地点Ａとなり、三角錐はＱ体＝クォータニオン球面体＝野手の関係は持続します。

Ｑ体が持続するということは野手がどんどん、到達地点Ｂに近づいていくということです。この「近づく」ということが補間なのです。補間とは「近づく」ことであり、任意の地点qを現在地点A：a=t+xi+yj+zkに置換することなのです。

こうした補間の一連の過程は内部観測の状態（本人だけの世界）であり、Ｑ体の様子は外部からは見えないのです。外部から見えるのは野手がボールに向かっては走る外見とガウス平面の実空間（ボールや芝生）だけなのです。

Ｑ体の様子は見えないのですが、見えるようにするにはどうしたらいでしょうか？

待ってました。それが3Dの世界です。

3Dの世界、人間の脳の中の過程と全く同じではありませんが、擬似的に見せてくれます。そこではもちろんクォータニオンが大活躍しています。

ではどのようにしているのかを見てみましょう。

補間＝近づくことですから、そのためには最短クォータニオンを設定しなえればなりません。野手は最短で走るのです。

しかし、下手な野手は最短では走りません。一般的に言えば「急がば回れ」とも言いますし、目標に達する方法は多様な経路が可能でしょう。


ここで取り上げた3Dソフトは最短と最長のいずれかを選択できるようになっています。

この様子を示したのが下の図です。

Maya のアニメートされた回転
http://download.autodesk.com/global/docs/maya2013/ja_jp/index.html?url=files/Animation_Basics_Animated_rotation_in_Maya.htm,topicNumber=d30e205777





これで、クォータニオン球体（Ｑ体）クォータニオンの関係、クォータニオン回転補間のイメージがつかめたのではないでしょうか？

次ぎは、回転合成の探求へ向かいましょう。

続く