労力を最小にする式
＜ＰＳ理論との共振：最小作用とは労力が最小になる仕方である＞の続き
http://www.beach.jp/circleboard/ad00178/topic/1100200411243

ニュートンの方法でわかったことは微分と積分は逆の関係、例えば　v=dx/dt⇔x=∫vdt　のようにどっちかが分かれば他方を求めることができました。ニュートンの場合は先に微分形式の式（運動方程式）が分かっていたので部分（微分）から全体（答）は積分すればよかったのですが、未開人は運動方程式が分かっていないのです。分かっているのは二点間の位置と速度だけです。

答を求めるには微分形式の「何か」を積分すればよいのですから微分（部分）を想定して進める手があるでしょう。強引ですがその「何か」を積分する部分対象＝ラグラジアンLはL(q,q',t)としてみましょう。その答え＝積分した結果（値）をＳ（労力）としましょう。x=∫vdtにならってS=∫Ldtとできるでしょうか？　x=∫vdtではvが分かっていたのですがS=∫LdtではＬは未知だということです。

ともかく、労力を最小にする式は

Ｓ=∫L(q,q',t)dt（積分範囲はt1からt2）

となるはずです。ただしLは未知の「何か」ですが位置と速度と時間の関数になっているということは間違いありません。この式は未知の何か（Ｌ）があって、それは微分形式で与えられると想定して、それを時間で積分すると答えとしてＳが得られるというものです。このＳが労力であり、これを最小にすることが真の答であり、真の作用、つまり、作用が積分だということになるでしょう。部分部分（微分）で消費した労力源Ｌの作用の結果としての労力Ｓが最小になるのはどんな場合かという問題に置き換えたことになります。

Ｓ=∫L(q,q',t)dtとしたもののＬは未知の力（労力源）であり、想像したのですから仮想の力です。それがt1,t2の微小な区間dtで働いているということですので、それを作用すれば（積分）答え（無数の走り方の中から実現した走り方＝本当の運動）が出るということになります。

想像できるあらゆる経路（運動）と、その中から実現した本当の経路（運動）は、どうして区別できるのでしょうか？　また、本当の経路はどのように実現するのでしょうか？

そこで、L(q,q',t)を労力源と考えて見ましょう。二区間を運転しているのですから体力が消耗します。その最も無駄な労力Ｓを使わないという運転経路（走り方）が本当の経路（運動）だと考えるのです。そうすると最小値の労力が「答え」となるでしょう。最小値とは０ですから

Ｓ（積分値=労力）=∫L(q,q',t)dt＝∫労力源dt＞0

となるでしょう。最小値（実現するだろう運動）=0はL(q,q',t)=0としてp'=0（速度の変化がない）のときが最小ということになります。p'=0なら初速度のまま一定の速度ですので加速度は0です。労力を使わないということは加速しないということなのですね、確かに自転車を漕がなければ楽ですよね。このように楽あれば幸福というのが実現したいことです。実際の人生は楽あれば苦ありですから、急がば回れということのなるのですが、「楽」の意味がどこかで変質するかも知れませんが、今は、この解釈で行きましょう。

数学的には積分値Ｓが最小の時に実現する運動（直線運動）が最小作用の答えです。しかし、二点間の間には無数の経路があり、いくらでも想像することができますが、この最小作用の原理によれば定速で動く場合がもっとも労力の少ない経路であり、実現する経路だということになります。どうして無限の中から一つだけが実現するのでしょうか？　そのカラクリを見つけましょう。