ダランベールから仮想の仕事の原理を介してラグランジュの方程式が出てくる
＜ＰＳ理論との共振：仮想の仕事はパラパラ漫画の「パラ」のこと＞の続き
http://www.beach.jp/circleboard/ad00178/topic/1100200423635

物の理の基本が仮想に立脚しているというなん不思議なことが分かってきました。ダランベールの原理から仮想の仕事の原理を介してラグランジュの方程式が出てくることを示してみましょう。

仮想仕事の原理とEuler-Lagrangeの方程式
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/KasouGenri.PDF

最小作用の原理はどこからくるか？
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%BA%C7%BE%AE%BA%EE%CD%D1%A4%CE%B8%B6%CD%FD%A4%CF%A4%C9%A4%B3%A4%AB%A4%E9%A4%AF%A4%EB%A4%AB%A1%A9

出発点はダランベールの式：F-ma=0です。これに仮想の仕事の原理が絡んできます。ダランベールの式は動いている物(ニュートンの運動方程式)を静止画にしたようなものであり、仮想の仕事の原理とはそれを再び動かしてみようという訳です。ただし、想像的(頭の中でパラパラ漫画のパラのような)にです。

動いている物体
●➝➝➝◍➝◉➝➝◎

◍：時刻tに於ける静止(釣り合い)状態
◍➝◉：パラパラのパラ(少しだけ動かす)
➝：仮想という意味(仮に動かす)

仕事Wとはエネルギーを消費することですので、力をある距離δxだけ作用する（力×距離）ということを意味します。努力するということですね。その仕事WをW=maδxとすると、at=(v=δx/t)なのでδx=∫atdt=at^2/2とするとW=m(a^2t^2)/2=mv^2/2となって、vで運動するものの運動エネルギー1/2(mv^2)がでてきます。これを仮想の仕事の式：Fδx-maδx=0に当て嵌めるとFδx-1/2(mv^2)=0となります。

微分形式で表現するとどうなるでしょうか？

差分法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%B3%95

Fに対して差分法を使うと、

｛U(x+δx)- U(x)｝/δx= -ӘU/Әx（＝F）

から

U(x+δx)- U(x)= -ӘU/Әxδx　(Uはポテンシャル＝位置エネルギー)

なりますので、時間で積分すると、

∫｛U(x+δx)- U(x)dt= ∫-ӘU/Әxδxdt

となります。同じように1/2(mv^2)に対して差分法を使います。

v1=dx/dt,v2=d(x+δx)/dtとするとW(v2)-W(v1)=1/2(mv2^2)- 1/2(mv1^2)は

W(v2)-W(v1)= d1/2(mv2^2)/dt dδx/dt
=mv dδx/dt=mdx/dt dδx/dt

ですので、

∫｛1/2(mv2^2)-1/2(mv1^2)dt= ∫m（dx/dtdδx/dt｝dt

となります。

ところでF-ma=0は

-U(x+δx)+U(x)-｛1/2(mv2^2)- 1/2(mv1^2)｝=0

なので、変形すると

1/2(mv1^2)+ U(x)=1/2(mv2^2+ U(x+δx)

となります。これは少しだけ動かしたときの前後の仕事は同じだということです。これがエネルギー保存則ですね。例えば、振り子の運動を考えると高い位置にあるときの運動エネルギーは０で位置エネルギーはmgh、もっとも下にあるときの運動エネルギーはmv^2/2+0、位置エネルギーは０なので運動エネルギー（mv^2/2）＋位置エネルギー(mgh)＝０＋mgh=mv^2/2+0です。こうしてすべての位置におけるエネルギーは保存されています。

Fδx-maδx=0の時間積分は

∫m（dx/dtdδx/dt｝dt-∫ӘU/Әxδxdt=0

となり、

∫｛mdx/dtdδx/dt-ӘU/Әxδx｝dt=0

となります。これは運動エネルギーTと位置エネルギーUの差の時間積分になっています。T=m^2v/2ですのでmdx/dtdδx/dt=mvdδx/dtは{d(m^2v/2) /dv}δx/dt= {(dT/dv) /dt}δx = d/dt(dT/dv) δxと変形できます。従って、

∫｛mdx/dtdδx/dt-ӘU/Әxδx｝dt=0

は、

∫d/dt(dT/dv) δx-ӘU/Әxδx｝dt=0

となります。

L=T-Uとするとd/dt(ӘL/Әx')＝d/dt {Ә (m^2v/2-U)/Әv}= d/dt(ӘL/Әx')、ӘL/Әx＝ӘU/Әxなので∫d/dt(dT/dv) δx-ӘU/Әxδx｝dt=0は

∫d/dt(dL/dv) δx-ӘL/Әxδx｝dt=0

となります。結局、d/dt(dL/dv) δx-ӘL/Әxδx=0とするとラグランジュの方程式が求まりました。ここには偏微分(偏な微分)の妙が使われているのですね。L=T-Uとした場合vで偏微分するとUは位置xの関数なので無視できますからӘL/Әv＝ӘT/Әvとなり、xで偏微分するとはTはvの関数なので無視できますからӘL/Әx＝ӘU/Әxとなり、結局、d/dt(dL/dv) δx-ӘL/Әxδx= d/dt(dT/dv) δx-ӘU/Әxδxとなってしまうのですね。

始めから天下り的にL=T-Uとしてもうまくいくのですが、それだとそうしても何故なのかという疑問が出てきます。それが仮想の仕事の原理とダランベールの原理から出てくるというのが肝ですね。

最小作用の原理を使った場合はLを未知としてラグランジュの方程式：d/dt(ӘL/Әx')- ӘL/Әx=0　（正しくはxドット）を求めましたが、それはS=∫Ldtとして、S=∫｛mdx/dtdδx/dt-ӘU/Әxδx｝dtを導き、S=0としてd/dt(ӘL/Әx')- ӘL/Әx=0が要求されたのですね。この式がなんとダランベールの原理から求められたのですから驚きです。

ここまできたらダランベールの原理は一人称でしたからラグランジュの方程も一人称であることは勿論でしょう。ラグランジアンLがダランベールの原理からT-Mとして出てきたことは意外でしたが、それはエネルギー保存則を変形して出て来たことに意味がありそうです。仮想の仕事の原理は釣り合いの式ですから仕事はプラスマイナス＝０、つまり、エネルギーは保存されているということですね。仮想の仕事の原理はエネルギー保存則を言い換えた式なのではないでしょうか？

エネルギー保存則
http://scphysblank.tubakurame.com/dyna/dynach3.html


何故、ラグランジュの方程式がニュートンの運動方程式になるのかが分からなかったのですがこれですっきりしました。