黄金分割と対数螺旋(指数関数）のルーツはフィボナッチ数列にある。

フィボナッチ数列と黄金分割と対数螺旋(指数関数）
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/fibonatti.shtml

これに従って、フィボナッチ数列と黄金分割と対数螺旋(指数関数)は全く同じものだということを実感してみよう。

フィボナッチ数列の比をとると黄金比になる。逆に黄金分割からフィボナッチ数列の比が作れるだろうか。

黄金分割とは帯をあるルールに従って二つに分けることである。帯を鋏で切ってみよう。二つの部分をx,1とする。全体をx+1とすると、全体と大きな部分x比が二つの部分の比と同じなるようにする。これが黄金分割である。図で示すと

大部分(x) 　 小部分(1)
-----------│-----
⇐＝＝全体x+1＝＝⇒

全体と大きな部分xの比＝二つの部分の比
x+1:x=x:1
(x+1)/x=x/1
x^2=x+1
x^2-x-1=0
これをxについて解く。

x^2-x=1として左辺に(1/2)^2-(1/2)^2=0を加える。
x^2-x+(1/2)^2-(1/2)^2=1
こうすると左辺は因数分解できる。
(x-1/2)^2-1/4=1
(x-1/2)^2=5/4
x-1/2=±√(5/4)
x-1/2=±√(5)/2
x={1±√(5)}/2

この計算過程で、因数分解できるように小細工（？）するところが数学の美である。ただ、自然はこんな計算をしているのだろうか。そこが疑問だ。

いずれにしても黄金分割は美の象徴でもある。この程度のことは朝飯前なのだろう。さらに美的トリックが続く。

黄金分割の式x^2=x+1は二次方程式となっている。これにｘを掛けてやると
(x^1=x)
x^2=x+1
x^3=x(x+1)=x^2+x=x+1+x=2x+1
x^4=x(2x+1)=2x^2+x=2x+2+x=3x+2
x^5=x(3x+2)=3x^2+2x=3x+3+2x=5x+3
x^6=8x+5
x^7=13x+8
...
これを続けると

x^n=nx+C

となり一次式に表わすことができる。
これは最初のx^2=x+1が繰り返し使えるからである。

こうして展開したxの係数をx^1から見て行くと

1,1,2,3,5,8,13,,,

となりフィボナッチ数列になっている。x=1と置くと、そのままフィボナッチ数列となる。しかし、x^2=x+1を解いたxの値はx={1±√(5)}/2なので、このままではィボナッチ数列は出てこない。

こでまた、美のトリック、いや、美のマジックを使おう。ここから先は長くなるので以下を参照。

はまぐりの数学
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/fibonatti.shtml

自然界には黄金比や黄金角や対数螺旋と言った目に見える形となって美が現れる。その美の原型となっているのがフィボナッチ数列である。美のルーツが同じだということ、数の並びという構造と方向という秩序があるということ、そして生成変化があるということ、この三つ様相が揃えばこれはＧ生命論の定義を満足する。つまり、フィボナッチ数列は生命のイデア、美のイデアである。

はまぐりの数学では、植物は黄金角で回転しながら葉（花、芽）を造っていると説明している。ただ、黄金角を、どうやって識別しているのかは未解決だという。これに対する答えがＳ科学にはある。Ｓ科学の答えは植物にはタイムマシン付宇宙コンピュータがあるからとなる。