漸化式Zn+1=Zn^2-1
黄金分割xn+1=1+1/xn

は複素数と実数の違いがあるが、ZをXとすると

xn+1=xn^2-1
xn^2=xn+1+1
xn=xn+1/xn+1/xn

ここでxn+1/xn=1とすると

xn=1+1/xn

となり、黄金分割の連分数表現と同じになる。xn+1/xn=1とするのが正しいのかどうかである。その上、xn+1=xn^2-1でx0=0とすると、x1=-1,x2=0,x3=-1,,,となって振動する。連分数ではx=1.618になり、マンデルブロの漸化式では振動する。振動するのをxn+1/xn=1とするのは不味いだろう。

だから、以下のの考察は間違いである。


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生物の多様性が対数螺旋の係数で決まるならその大元の係数はフラクタル漸化式の初期値Ｃで決まる。黄金比の初期値はC=-1だから、オウムガイの初期値はそう遠くにはない筈である。オウムガイの螺旋の拡大する倍率は約1.7倍で黄金比1.618倍だからである。

そこで初期値を根拠はないが仮にC=-1.2としてみよう。これがオウムガイの初期値になるなら喝采である。さて、どうなるだろうか。

先ずやることはマンデルブロ集合の漸化式の実数版を作ることである。

マンデルブロ集合の漸化式は

Zn+1=Zn^2+C

である。これを変形して

Ｚn^2=Zn+1+C
Zn=1+C/Zn

とする。ZをＸとおくと

Xn=1+C/Xn

となる。マンデルブロ集合の漸化式の実数版である。次に、これを計算しなければならない。しかし、この計算は厄介なのでｎの極限を取ってφとおいて

φ=１+C/φ

としてみよう。φはC=-1のとき黄金比1.618になると分かっているのでこの式を使うことにする。

C=-1.2とするのだから

φ=１-1.2/φ
φ^2=φ-1.2

だから

φ^2-φ-1.2=0

を解くことを意味する。φをｘと置き換えると単なる二次方程式となる。

x^2-x-1.2=0

ここで因数分解をするために小細工する。

-1.2=(1-5.8)/4=1/4-5.8/4

従って

x^2-x+1/4-5.8/4=0
(x-(1/2))^2-(5.8/4)=0
(x-(1/2))^2=(5.8/4)
x-(1/2)=±√(5.8/4)
x=(1/2)±√(5.8/4)
x=(1±√5.8)/2

黄金比の式：φ＝(1+√5)/2＝1.618の√5が√5.8になっただけである。計算すると

x=(1+√5.8)/2=1.7041
x=(1-√5.8)/2=-0.7041

どうだろうか。プラスだけを採用するとC=-1.2でx=1.7041 となるのである。オウムガイの螺旋の拡大する倍率は約1.7倍だからぴたり一致である。

黄金比はφ＝1.618であり、これが黄金分割の角度：72.8°（Ｃ=-１）とオウムガイの角度：80°（C=-1.2）となる。その差は僅か0.01の差である。

これが線形と非線形の世界の違いである。線形の世界なら僅か0.01の差は無視してしまうだろうが、非線形の世界では無視できないのである。それがまた生物多様性や個性を生むのである。Ｃは味の素ならぬ生の素だったのである。