数学を安易に信じてはいけないらしい。数学は美人局になる可能性を秘めているのである。その一端を覗いてみよう。

それがこの式である。

1+2+3+4+...=-1/12

これは最先端物理の超ひも理論で使われている式である。もしこの式が妥当でないなら紐はひもでなくなる。ひも理論は量子論の無限の問題を解決するために出て来た理論である。それはともかくとしてこの式はどのように計算されて出て来たのだろうか。

一般化した式Σn^(-s)　（nは自然数、sは複素数）を考える。ここでs=-1とすると1+2+3+...となる。Σn^(-s)をζ関数という。ζ(-1)=1+2+3+...である。

この段階では

Σn^(-s)=ζ(-1)=1+2+3+...=-1/12

かどうかはまだ分からない。そこで導く手がかりとして次の等比級数を考えて見る。

1+x+x^2+... =

S=1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)

とすると、

xS=x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n

S-xSにより

(1-ｘ)S=1-x^n
S＝{1-x^n}/{1-ｘ}
S={1-x^n}/{1-ｘ}＝1/{1-ｘ}-1/{1-ｘ}＊x^n
｜x｜＜1のときx^n→0だから、S=1/{1-x}

従って

1+x+x^2+x^3+・・・＝1/(1-x)

これを微分してみよう。

1+2x+3x^2+...=1/(1-x)^2

x=-1とすると

1-2+3-4+5-... =-1-1-1-1-...=-∞

であるが、右辺は1/(1-x)^2=1/2^2=1/4


必要なのは1+2+3+なのでそれが出て来るようにする。

1-2+3-4+... = (1+2+3+4+...) -2×(2+4+6+...)
=(1+2+3+4+...) -4×(1+2+3+...)
=-3×(1+2+3+4+...)

1-2+3-4+5-... =1/4
=-3×(1+2+3+4+...)

従って

1+2+3+4+...=-1/12

となる。あっけなく-1/12がでてきた。明かに無限大になる自然数の和が有限の値になり、しかも負である。これは信じられないことである。しかし、導出の過程を見ても文句のつけようがない。本当にこれは数学的に正しいのだろうか。

無理やり-1/12を導出する方法
http://nakaken88.com/2014/12/08/080818

これによれば無理やり導いたとしている。無理やりだが間違いだとは言っていない。素人はどう判断すればよいのだろうか。

1+2x+3x^2+... = 1/(1-x)^2＝1/4

ここが問題である。条件が│x│<1なのにx=-1として右辺を1/4としている。ここが無理やりである。しかし、そうだろうか。x=-0.9999999としてみよう。

1/1.9999999^2≒0.25=1/4である。

これなら使えそうである。（実際は解析接続という方法で正当化される）

式の変形は数学の基本である。しかし、やってはいけないことがある。無限個の足し算引き算は、順番を変えたら答えが変わることがあるのである。

1-2+3-4+... = (1+2+3+4+...) -2×(2+4+6+...) = -3×(1+2+3+4+...)

この変形はだめである。

それにもかかわらず、この式は超ひも理論で使われているという。

http://t.co/26iW3TZUpu

ここでは手厳しく批判されている。

結局やっていることは、

1-2+3-4+...=∞+1/4=∞
1/4=∞-∞
1-2+3-4+...=∞-∞=(1+2+3+4+...) -2×(2+4+6+...)
1/4=(1+2+3+4+...) -2×(2+4+6+...)
1/4=(1+2+3+4+...) -4×(1+2+3+...)
1/4=-3×(1+2+3+4+...)

1+2+3+4+...=-1/12

である。無限大を悪用していると言わないまでも物理の大御所のファインマンもこのよう無限大を利用した方法はトリックであると批判している。ここでは、はっきりと無限大の悪用だと決めつけている。

QED は 都合のいい "有限"の値 を得るのに "無限大" を悪用している。
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kcy05t/nitrigf.html

素人にはよくわからないが、こちらの方が説得力があると思える。