各数式の検証1. \(r \times v = r \times v\) （成立するが、解釈に注意が必要）これはケプラーの第2法則（面積速度一定）や、角運動量保存則を表そうとしたものと考えられます。正確には、近日点（距離 \(r_{1}\)、速度 \(v_{1}\)）と遠日点（距離 \(r_{2}\)、速度 \(v_{2}\)）のように、位置と速度が垂直になる地点において \(r_1 v_1 = r_2 v_2\) が成り立ちます。一般の場所では、外積（ベクトル）を用いて \(\vec{r}_1 \times \vec{v}_1 = \vec{r}_2 \times \vec{v}_2\) と書くため、数式としては成り立っています。2. \(F \times v = F \times v\) （一般には成立しない）力 \(F\) と速度 \(v\) の積 \(F \times v\)（または内積 \(\vec{F} \cdot \vec{v}\)）は、仕事率（単位時間あたりにされる仕事）を意味します。惑星軌道運動において、万有引力 \(\vec{F}\) は常に移動方向（速度 \(\vec{v}\)）と垂直（または垂直に近い状態）であるため、される仕事率は常にほぼ \(0\) です。そのため \(0 = 0\) という意味では成り立ちますが、ここから新しい関係式を引き出すことはできません。3. \(F = \frac{GMm}{r^2}\) （完全に成立する）ニュートンの万有引力の法則そのものであり、完全に正しい式です。4. \(\frac{r}{F} = \frac{r}{F} = k\) および \(F = kr\) （成立しない）ここが一番のポイントです。万有引力の式（\(F = \frac{GMm}{r^2}\)）を見るとわかるように、力 \(F\) は距離 \(r\) の2乗に反比例します。つまり、距離 \(r\) が大きくなればなるほど、引力 \(F\) は小さくなります。一方で、フックの法則 \(F = kr\) は、距離（伸び） \(r\) が大きくなればなるほど、力 \(F\) も大きくなる関係（比例）を意味します。したがって、万有引力の世界では \(\frac{r}{F}\) や \(\frac{F}{r}\) は一定（定数 \(k\)）にはならず、\(F = kr\) という関係は導けません。なぜフックの法則のように見えることがあるのか？宇宙の重力（万有引力）と、地球上のばね（フックの法則）は、実は「ある特殊な条件」においてだけ、非常によく似た運動（単振動）を見せることがあります。これが混同しやすい原因かもしれません。地球の穴を通り抜ける運動（地球貫通列車）もし地球の真ん中に穴をあけてボールを落とした場合、ボールにかかる地球の重力は、中心からの距離 \(r\) に比例するようになります（\(F = \frac{GMm}{R^3}r\)）。この場合のみ、重力がフックの法則（\(F=kr\)）と全く同じ形になり、ボールは往復運動（単振動）をします。円軌道の微小なズレ惑星が綺麗な真円軌道からほんの少しだけズレて動くとき、その中心からの過不足分の動きは、ばねに繋がれた物体と同じ「単振動」の数式で近似して計算されることがあります。結論万有引力は「距離の2乗に反比例する力」であり、フックの法則は「距離に比例する力」です。物理的な性質が真逆（離れるほど弱くなる vs 離れるほど強くなる）であるため、万有引力からフックの法則を直接導くことはできません。もし、この数式の組み合わせについて、「この参考書で見かけた」「この物理現象のシチュエーションを想定していた」などがあれば、ぜひ教えてください！その前提条件に合わせて、さらに詳しく解説します。